(1) 粒子在 (MN) 左侧区域中运动时，由洛伦兹力提供向心力有 qv_0B=m\frac{v_0^2}{r_1}，
解得粒子在 (MN) 左侧区域中运动的半径 r_1=\frac{mv_0}{qB}。

(2) 粒子在 (PQ) 右侧区域运动时，由洛伦兹力提供向心力有 qv_0\cdot 2B=m\frac{v_0^2}{r_2}，
则粒子在 (PQ) 右侧区域的运动半径为 r_2=\frac{mv_0}{2qB}，
由于粒子能回到 (O) 点，则粒子的轨迹关于 (MN) 的中垂线对称，设粒子在 (MN) 左侧区域运动轨迹的圆心为 (O_1)，在 (PQ) 右侧区域运动轨迹的圆心为 (O_2)，作出粒子的运动轨迹如图所示，
由几何关系可知 \cos\angle MO_1O_2=\frac{\frac{3mv_0}{2qB}-r_1}{r_1}=\frac{1}{2}，
则 \angle MO_1O_2=60^\circ，
对粒子在 (PQ) 右侧区域的运动由几何关系可知，粒子第一次和第二次经过 (PQ) 时位置的间距为 s=2r_2\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}mv_0}{2qB}。

(3) 结合 qvB=m\frac{v^2}{r}, T=\frac{2\pi r}{v} 可知粒子在 (MN) 左侧区域、(PQ) 右侧区域做匀速圆周运动的周期分别为 T_1=\frac{2\pi m}{qB}, T_2=\frac{\pi m}{qB}，
由(1)问可知粒子在 (MN) 左侧区域、(PQ) 右侧区域运动轨迹所对的圆心角分别为 \theta_1=360^\circ-2\times 60^\circ=240^\circ, \theta_2=2\times 60^\circ=120^\circ，
则一个周期内粒子在磁场区域运动的时间为 t_1=\frac{\theta_1}{360^\circ}T_1+\frac{\theta_2}{360^\circ}T_2=\frac{5\pi m}{3qB}，由三角形相似可知粒子一次在 (MN, PQ) 间运动的距离为 x=\frac{r_1\tan 60^\circ}{2}=\frac{\sqrt{3}mv_0}{2qB}，
则一个周期内粒子在 (MN, PQ) 间运动的时间为 t_2=\frac{2x}{v_0}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}，
则粒子的运动周期为 t=t_1+t_2=\frac{5\pi m}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}。

答案：(1) \frac{mv_0}{qB} (2) \frac{\sqrt{3}mv_0}{2qB} (3) \frac{5\pi m}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}